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Dados agrupados – Média, mediana e moda

Média – Numa distribuição de frequências em que os dados se encontram distribuídos por classes é necessário determinar o ponto médio de cada classe, também designado por marca, habitualmente assinalado como a variável xi. Posteriormente as marcas multiplicam-se pelas respectivas frequências relativas, resultando a média da soma destes valores.

Mediana – A classe mediana é aquela em que a frequência relativa acumulada atinge os 50%.
O valor exacto da mediana pode calcular-se utilizando uma regra de três simples, admitindo que as observações se distribuem uniformemente pela amplitude da classe.

Moda – A classe modal é a que tiver maior frequência. Pode determinar-se o seu valor por aplicação de uma fórmula ou por construção gráfica (ver pp. 82-83 do Manual e nota no final do post).



1. Considera os seguintes dados:



Calcula a média.
Indica a classe modal.
Determina a mediana.


2. Considera os seguintes dados:



Calcula a média.
Indica a classe modal.
Determina a mediana.


3. Considera a Tabela 5.

Calcula a média.
Indica a classe modal.
Determina a mediana.

NOTA: Entre os processos de cálculo mais comuns para a moda encontra-se a Fórmula de King.

Dados não agrupados – Média, mediana e moda

Média, mediana e moda são as medidas de localização central mais frequentemente utilizadas.

Tomem-se como dados as seguintes classificações de um aluno no final do1º período do 12º ano:

12, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17

Média - A média aritmética calcula-se somando as classificações, dividindo este total pelo seu número:

(12 + 13 + 13 + 13 + 14 + 15 + 15 + 16 + 16 + 17 + 17 ) / 11 = 14,6

Moda - É o valor com maior frequência.

13.


Mediana – É a observação que separa 50% dos valores mais baixos dos 50% mais altos.

Tendo as classificações ordenadas, verifica-se facilmente que o 15 separa 50% das classificações mais baixas (12, 13, 13, 13 e 14) de 50% das classificações mais altas (15, 16, 16, 17 e 17).

Nota: Como o número de observações era ímpar (11) havia um valor central. Nos casos em que o número de observações é par temos dois valores centrais. Então, para obter a mediana, calcula-se a sua média destes.




1. Considera os seguintes dados:

10, 11, 17, 15, 14, 13, 12, 12, 12, 14, 15

Calcula a média.
Indica a moda.
Determina a mediana.

2. Considera os seguintes dados:

8, 9, 18, 16, 14, 13, 11, 7, 12, 14, 15

Calcula a média.
Indica a moda.
Determina a mediana.

População empregada e remunerações médias por sectores de actividade

Toma como ponto de partida as tabelas 4.06 - População empregada por sectores de actividade e 5.19 - Remunerações médias mensais por sector de actividade da Situação Social em Portugal.

1. Constrói gráficos de barras semelhantes aos que se mostram abaixo:





2. Interpreta os gráficos, escrevendo 10 frases fundamentadas nos mesmos.

Curva de Lorenz e Coeficiente de Gini

A medida da desigualdade na repartição do rendimento pode ilustrar-se graficamente pelas curvas de Lorenz:


Fonte: Relatório do Departamento de Prospectiva e Planeamento

Ordenando os agregados familiares, dos mais pobres para os mais ricos, se a 10% da população correspondesse 10% da receita, se a 20% da população correspondesse 20% da receita, etc., então o rendimento estaria equitativamente distribuído, isto é, a distribuição de frequências relativas acumuladas seguiria a linha dos 45 graus. Evidentemente que nas economias reais aos 10% da população mais pobre caberá muito menos que 10% da receita… obtendo-se assim a designada curva de Lorenz. Portanto, quanto mais afastada da linha dos 45 graus estiver a distribuição do rendimento, maior será a desigualdade, ou menor será a equidade.

Esta desigualdade pode medir-se através do coeficiente de Gini, que é a razão entre a duas áreas. A/B, em que:

A – é a área entre a curva de Lorenz e a recta dos 45 graus
B – é a área do triângulo em que a recta dos 45 graus é a hipotenusa

0, seria o valor do coeficiente de Gini no caso de uma distribuição do rendimento equitativa.
Quanto mais os valores do coeficiente de Gini de afastam de 0, maior será a desigualdade.



Eis um mapa mundo onde se representa o coeficiente de Gini:


Fonte: Distribution of wealth / NationMaster

1. Que distribuição de frequências é utilizada na construção das curvas de Lorenz?
2. Comente a evolução na repartição do rendimento em Portugal, de 1990 para 1995.
Nota: O Índice de Gini foi 0,2223 e 0,2481 em 1990 e em 1995, respectivamente, segundo a fonte referida no gráfico acima.

3. Comente a posição de Portugal no contexto da UE e do Mundo.

Informação adicional:
Índice de Gini calculado pela ONU