Regressão linear simples: Método dos Mínimos Quadrados

Considere-se a tabela seguinte, que apresenta o bónus recebido pelos funcionários de uma dada empresa, expresso em euros (variável y), e o respectivo tempo de serviço, em meses (variável x).



O gráfico de dispersão, bem como o cálculo do coeficiente de correlação de Pearson, r, evidenciam forte correlação positiva.



O Excel permite adicionar rectas de tendência em modo gráfico, mas esse procedimento não é recomendado, visto que corresponde a desenhar as rectas “a olho”.

A forma mais comum de calcular as rectas de regressão é através do Método dos Mínimos Quadrados.




Representando a recta de regressão pela fórmula:

y = a + bx

em que y é a variável dependente,
x é a variável independente,
a é uma constante que indica a distância da intercepção do eixo dos yy,
b é uma constante que indica o declive da recta.

Evidentemente que os valores de a e b podem calcular-se no Excel, usando-o como um caderno quadriculado apenas um pouco mais sofisticado. Como é suposto o acompanhamento do blogue pelos manuais, apenas se indicam abaixo as fórmulas de cálculo de a e de b:



Para calcular a e b por este processo é preferível utilizar as fórmulas computacionais, que são equivalentes às anteriores, mas mais simples:



Seguindo este processo será necessário realizar os seguintes cálculos adicionais:




E então será fácil chegar aos valores da recta de regressão:



Outra alternativa é utilizar as funções da biblioteca do Excel.

O a calcula-se com a função INTERCEPTAR.

O b calcula-se através da função DECLIVE.

A previsão pode fazer-se por substituição directa de valores na função y = 80.77773 + 1.138005 x ou utilizando a função PREVISÃO. Para um funcionário com 45 meses de serviço, ambos os processos estimam um bónus de 131.988 €.

A qualidade da regressão é indicada pelo Coeficiente de Determinação:

O Coeficiente de Determinação varia entre 0 (zero) e 1 (um). Quanto mais próximo da unidade estiver o Coeficiente de Determinação, tanto maior será a validade da regressão (no seu conjunto).

Também se pode apreciar a validade da cada um coeficientes a e b isoladamente. Em princípio, os coeficientes serão tanto mais fiáveis quanto menores forem os seus desvios padrão.

O output do SPSS oferece-nos as estatísticas referidas depois de introduzir os dados (NOTA: Funciona o copy/paste a partir do Excel) e dos seguintes comandos:

Analyze / Regression / Linear

Os valores referidos ao longo do post estão sublinhados a vermelho.


O SPSS também constrói o gráfico de dispersão, da distribuição. Para obter a imagem abaixo foram seguidos os seguintes passos: Graphs / Interactive / Scatterplot...





1. Retome os valores do exercício apresentado, admitindo que todos os trabalhadores têm menos um ano de serviço, mas que o bónus mensal se mantém.
1.1. Recalcule o valor de a e de b utilizando:
a) o Excel como um caderno sofisticado;
b) as funções da biblioteca do Excel.
1.2. Estime o bónus mensal para um trabalhador com 60 meses de serviço:
a) por substituição na função y = a + bx;
b) recorrendo às funções da biblioteca do Excel.
1.3. Construa um gráfico de dispersão com os novos dados. Compare o gráfico obtido com o apresentado no post.
1.4. Recalcule o coeficiente de correlação. Compare o valor obtido com o anterior.
1.5. Compare os valores de a e de b obtidos no exercício com os apresentados no post.

2. Recorrendo ao SPSS, indique:
a) a;
b) o desvio-padrão associado a a;
c) b;
d) o desvio-padrão associado a b;
e) o coeficiente de determinação.

Nota: Analyze / Regression / Linear

3. Construa o gráfico de dispersão da distribuição no SPSS.

Nota: Graphs / Interactive / Scatterplot...

Teste Modelo - Parte Teórica

1. As medidas de dispersão são o Desvio (absoluto) médio, a Variância e o Desvio Padrão.
1.1. Qual a vantagem do desvio padrão relativamente ao desvio médio?
1.2. Qual a vantagem do desvio padrão relativamente à variância?
1.3. Define intervalo de variação.
1.4. Define intervalo inter-quartis
1.5. Define coeficiente de variação.

2. Imagine que à variável x foi adicionado o valor de uma constante, k. Indique o que sucedeu:
a) ao desvio médio;
b) à variância;
c) ao desvio-padrão;
d) ao intervalo de variação;
e) ao intervalo inter-quartis;
f) ao coeficiente de variação.

3. Imagine que a variável x foi multiplicada pelo valor de uma constante, k. Indique o que sucedeu:
a) ao desvio médio;
b) à variância;
c) ao desvio-padrão;
d) ao intervalo de variaão;
e) ao intervalo inter-quartis;
f) ao coeficiente de variação.

Sugestão: Construa uma folha de cálculo para visualizar as alterações propostas no ponto 2. e no ponto 3. Se utilizar a variável X já definida no teste modelo, e construir as variáveis X+50 e 20X, obterá os seguintes resultados:



4. Não se verificar correlação linear, não significa que não se verifique outro tipo de correlação.
Comenta.

5. Qualquer que seja a correlação verificada, correlação não significa causalidade.
Comenta.

Teste Modelo - 29 de Abril

Verifica o mail.

IDH (HDI)

O Índice de Desenvolvimento Humano (Human Development Index) é certamente dos indicadores mais frequentemente utilizados nas comparações internacionais. Descarregue os dados mais recentes disponíveis em folhas de Excel, no endereço http://hdr.undp.org/en/statistics/data/.

Segue o link


e grava o ficheiro
HDR 2007-2008 Table 01.xls.


1. Utilizando apenas os países de desenvolvimento humano elevado (os primeiros 70), calcula uma matriz de correlações entre as diversas variáveis da Tabela 1, semelhante à que se apresenta abaixo.



2. Comenta os coeficientes de correlação mais significativos.

3. Justifica a opção por trabalhar apenas com os países de desenvolvimento elevado.

4. Investigue outras variáveis susceptíveis de explicar o desenvolvimento humano, explorando os indicadores contidos no Relatório do Desenvolvimento Humano (ficheiro hdr_20072008_tables.zip).

NOTA 1: Para facilitar o trabalho do Excel, propõem-se as seguintes transformações de variável antes do cálculo das correlações.



NOTA 2: Como se calcula o IDH.

Coeficiente de Correlação de Pearson - r

Quando tomamos as variáveis duas a duas podemos verificar o que sucede a uma variável, x, quando outra variável, y, varia. São então possíveis três situações particularmente interessantes:
a) Quando a variável x toma valores maiores (menores) a variável y também toma valores maiores (menores);


b) Quando a variável x toma valores maiores (menores) a variável y toma valores menores(maiores); ou


c) A variável x toma valores maiores (menores) independentemente dos que a variável y apresenta.



No primeiro caso diremos que as variáveis estão positivamente (ou directamente) correlacionadas. No limite, isto é, se a correlação for "perfeita" - como é o caso se considerarmos a correlação da variável x consigo própria - o coeficiente de correlação será igual a 1.
No segundo caso diremos que as variáveis estão negativamente (ou inversamente) correlacionadas. No limite, isto é, se a correlação for "perfeita" o coeficiente de correlação será igual a -1.
No terceiro caso diremos que as variáveis não estão correlacionadas. No limite, isto é, em caso de "absoluta independência" o coeficiente de correlação será igual a 0.
Na prática os valores acima indicados nunca se encontram, mas são estes que deverão tomar-se como referência na interpretação dos parâmetros obtidos.

Carla Santos propõe a seguinte classificação da correlação linear:


No Excel o coeficiente de correlação calcula-se facilmente com recurso à função CORREL. Apresentam-se abaixo os gráficos de dispersão para os coeficientes de correlação entre as classificações internas de frequência (CIF) e as classificações de exame (CE) em Biologia (r=0,82) e em Psicologia (r=0,35).





Observação 1: Não se verificar correlação linear, não significa que não se verifique outro tipo de correlação, por exemplo, exponencial.

Observação 2: Qualquer que seja a correlação verificada, correlação não significa causalidade.



NOTA IMPORTANTE: Antes de iniciar o exercício abaixo proposto, construa uma nova base de dados composta apenas pelas primeiros 100 ID's de cada disciplina.

0. Indique uma justificação para a redução da base de dados acima solicitada.

1. Calcule o coeficiente de correlação para cada uma das disciplinas:
435 – Matemática
102 – Biologia
142 – Química

139 – Português B
140 – Psicologia
128 - IDES

2. Construa o gráfico de dispersão para cada uma das disciplinas.

3. Verifique que a disciplina de Biologia é aquela que evidencia maior correlação. Simultâneamente estes professores seriam os primeiros a ser "crucificados" pela diferença CIF-CE! Tente explicar esta aparente contradição.

No post deverá colocar todos os gráficos, e um Quadro Síntese semelhante ao que se apresenta abaixo.

Medidas de assimetria e de achatamento

As medidas de assimetria permitem distinguir as distribuições simétricas (Média = Moda = Mediana) das assimétricas. No caso das distribuições assimétricas estas podem ter assimetria positiva (Moda <= Mediana <= Média) ou assimetria negativa (Média <= Mediana <= Moda).



Três indicadores de assimetria podem calcular-se na ausência de uma imagem esclarecedora e de acordo com os indicadores disponíveis:






Para qualquer dos indicadores, uma distribuição simétrica resultará num valor igual a 0 (zero);
Se a distribuição for assimétrica positiva resultará num valor superior a 0 (zero);
Se a distribuição for assimétrica negativa resultará num valor inferior a 0 (zero).


O achatamento ou curtose mede o grau de afilamento da curva relativamente à normal.






1. Continuando a utilizar os dados referentes ao Exames Nacionais de 2003, calcula os indicadores de assimetria (G, G1 e G2) e de achatamento (K) da distribuição das CIF e da distribuição das CE, em:

435 – Matemática
102 – Biologia
142 – Química

139 – Português B
140 – Psicologia
128 - IDES

2. Comenta os dados valores calculados no ponto anterior.

NOTA 1: Apresenta os resultados num quadro síntese semelhante ao seguinte:



NOTA 2: Observa que a arrumação dos indicadores pode facilitar os cálculos. Apresentam-se abaixo os dados calculados para 435-Matemática. Convém evitar que o Excel seja forçado a percorrer a folha de cálculo para cima e para baixo, ora para um lado, ora para o outro,... para poupar memória.

Rankings de Escolas

Em 2001 começou entre nós a polémica dos rankings escolares com a divulgação pelo jornal PÚBLICO dos dados referentes a classificações internas (CIF) e exames (CE) do 12º ano. A publicação destes resultados alargou-se à generalidade da imprensa, com destaque para o EXPRESSO. Em 2002 o ME encomendou um estudo “sociológico” à UNL, coordenado pelo professor Sérgio Grácio, que introduziu o conceito de classificação “esperada”, em função do contexto escolar. A polémica gerada foi tanta que no ano seguinte, 2003, o ME decidiu disponibilizar um ficheiro Access com os resultados brutos dos exames nacionais. Deverá utilizar este ficheiro para realizar as tarefas propostas neste post. A fim de evitar o simplismo das médias, o ME passou a actualizar o Roteiro das Escolas.

Considere dois conjuntos de disciplinas com mais alunos:
Matemática e Ciências, composto pelos seguintes exames:
435 – Matemática
102 – Biologia
142 – Química

Português e Literárias
139 – Português B
140 – Psicologia
128 - IDES

Verifica se são verdadeiras as seguintes afirmações:

1) média CE é menor que a média CIF em todas as disciplinas
2) desvio padrão das CE é maior que o desvio padrão das CIF em todas as disciplinas
3) médias CE são mais baixas no grupo Matemática e Ciências que em Português e Literárias
4) desvios padrão dos CE são maiores no grupo Matemática e Ciências que em Português e Literárias
5) diferença média CIF – média CE é maior no grupo Matemática e Ciências que em Português e Literárias

NOTA: Sugere-se que após a realização dos cálculos construa um Quadro Síntese para facilitar a interpretação dos resultados, com o desenho do que se apresenta abaixo.